एक बल क्षेत्र में एक कण की स्थितिज ऊर्जा U(r) | vedclass

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Question

(B) दी गई स्थितिज ऊर्जा: $U(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$।संतुलन के लिए,बल $F = -\frac{dU}{dr} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dr} = 0$।$\frac{dU}{d

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$\frac{2A}{B}$

Vedclass · Answer

(B) दी गई स्थितिज ऊर्जा: $U(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$।संतुलन के लिए,बल $F = -\frac{dU}{dr} = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dU}{dr} = 0$।$\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr}(Ar^{-2} - Br^{-1}) = -2Ar^{-3} + Br^{-2} = 0$।$\frac{B}{r^2} = \frac{2A}{r^3} \implies r = \frac{2A}{B}$।स्थायी संतुलन के लिए,द्वितीय अवकलज धनात्मक होना चाहिए: $\frac{d^2U}{dr^2} > 0$।$\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{d}{dr}(-2Ar^{-3} + Br^{-2}) = 6Ar^{-4} - 2Br^{-3}$।$r = \frac{2A}{B}$ रखने पर:$\frac{d^2U}{dr^2} = 6A(\frac{B}{2A})^4 - 2B(\frac{B}{2A})^3 = 6A(\frac{B^4}{16A^4}) - 2B(\frac{B^3}{8A^3}) = \frac{3B^4}{8A^3} - \frac{B^4}{4A^3} = \frac{3B^4 - 2B^4}{8A^3} = \frac{B^4}{8A^3}$।चूँकि $A, B > 0$,इसलिए $\frac{B^4}{8A^3} > 0$। अतः,$r = \frac{2A}{B}$ पर स्थायी संतुलन की शर्त पूरी होती है।

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